高中函數單調性的教學設計
教學目標
1、會用等比數列的通項公式和前n項和公式解決有關等比數列一些簡單問題;提高分析、解決實際問題的能力。
2、通過公式的靈活運用，進一步滲透分類討論的思想、等價轉化的思想。
函數的單調性
知識目標：初步理解增函數、減函數、函數的單調性、單調區間的概念，并掌握判斷一些簡單函數單調性的方法。
能力目標：啟發學生能夠發現問題和提出問題，學會分析問題和創造地解決問題；通過觀察——猜想——推理——證明這一重要的思想方法，進一步培養學生的邏輯推理能力和創新意識。
德育目標：在揭示函數單調性實質的同時進行辯證唯物主義思想教育。：
教學重點：函數單調性的有關概念的理解
教學難點：利用函數單調性的概念判斷或證明函數單調性
教 具： 多媒體課件、實物投影儀
教學過程：
一、創設情境，導入課題
[引例1]如圖為2006年黃石市元旦24小時內的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖：
問題1：氣溫隨時間的增大如何變化？
問題2：怎樣用數學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？
[引例2]觀察二次函數的圖象，從左向右函數圖象如何變化？并總結歸納出函數圖象中自變量x和 y值之間的變化規律。
結論：（1）y軸左側：逐漸下降； y軸右側：逐漸上升；
（2）左側 y隨x的增大而減小；右側y隨x的增大而增大。
上面的結論是直觀地由圖象得到的。還有很多函數具有這種性質，因此，我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究。
二、給出定義，剖析概念
①定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值
⑴若當<時，都有f()<f(),則f(x)在這個區間上是增函數（如圖3）；
⑵若當<時，都有f()>f(),則f(x) 在這個區間上是減函數（如圖4）。
②單調性與單調區間
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.由此可知單調區間分為單調增區間和單調減區間。
注意：
（1）函數單調性的幾何特征：在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。
當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2) y隨x增大而增大；當x1f(x2)y隨x增大而減小。
幾何解釋：遞增 函數圖象從左到右逐漸上升；遞減 函數圖象從左到右逐漸下降。
（2）函數單調性是針對某一個區間而言的，是一個局部性質。
有些函數在整個定義域內是單調的.；有些函數在定義域內的部分區間上是增函數，在部分區間上是減函數；有些函數是非單調函數，如常數函數。
判斷2：定義在R上的函數 f (x)滿足 f (2)> f(1)，則函數 f (x)在R上是增函數。（×）
函數的單調性是函數在一個單調區間上的“整體”性質，具有任意性，不能用特殊值代替。
訓練：畫出下列函數圖像，并寫出單調區間：
三、范例講解，運用概念
例1 、如圖，是定義在閉區間[-5，5]上的函數的圖象，根據圖象說出的單調區間，以及在每一單調區間上，函數是增函數還減函數。
注意：
（1）函數的單調性是對某一個區間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題。
（2）在區間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內要完整。
例2 判斷函數 f (x) =3x+2 在R上是增函數還是減函數？并證明你的結論。
引導學生進行分析證明思路，同時展示證明過程：
證明：設任意的，且，則
由，得
于是
即。
所以，在R上是增函數。
分析證明中體現函數單調性的定義。
利用定義證明函數單調性的步驟：
①任意取值：即設x1、x2是該區間內的任意兩個值，且x1<x2
②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號的方向變形
③判斷定號：確定f(x1)－f(x2)的符號
④得出結論：根據定義作出結論（若差0，則為增函數；若差0，則為減函數）
即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論”
例3、 證明函數在(0,+)上是減函數.
證明：設，且，則
由，得
又由，得，
于是即。
即。
所以，函數在區間上是單調減函數。
問題1 ：在上是什么函數？(減函數)
問題2 ：能否說函數在定義域上是減函數？ （學生討論得出）
四、課堂練習，知識鞏固
課本59頁 練習：第1、3、4題。
五、課堂小結，知識梳理
1、增、減函數的定義。
函數單調性是對定義域的某個區間而言的，反映的是在這一區間上函數值隨自變量變化的性質。
2、函數單調性的判斷方法：（1）利用圖象觀察；（2）利用定義證明：
證明的步驟：任意取值——作差變形——判斷符號——得出結論。
六、布置作業，教學延伸
課本60頁 習題2.3 ：第4、5、6題。
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